我国古代有个“点石成金”的故事：一个人十分崇拜八仙中的“纯阳祖师”吕洞宾，尽管他家里很穷，但仍然整日非常虔诚地供奉着吕祖。吕洞宾感其诚意，一日忽然从天上降到他家，见他家徒四壁，贫困潦倒，顿生怜悯之心；于是伸出一根手指，指向一块厚重的石头，口中念念有词；立刻，那块石头变成了黄灿灿的黄金。吕洞宾说：“你想要他吗？”那个人拜了两拜，摇摇头说：“我不想要。”看他连这么大的黄金都不动心，吕洞宾非常高兴，说：“像见这样没有贪心的人实在太少了，我可以传给你成仙的真道。”那个人说：“不是的，吕祖，我想要你的那根手指头。”

       如果把变成金子的石头看做数学知识，那么吕洞宾那根能把石头变成金子的指头就相当于这里所说的数学思想方法了。学习和研究数学的人，如果能够真正领悟数学的思想方法，就会高屋建瓴，紧抓数学学习的“灵魂”，就会把自己的课堂创设成高效课堂，就会在数学领域内“点石成金”。

      一、数学思想方法的概念及它们之间的关系
       

       1、数学思想

       经过长期实践和大量研究，人们逐步对数学知识与理论产生了更高级、更本质、更概括的认识，这就是数学思想。如，符号思想与整体变元思想，集合、分类思想，对应思想，公理化思想，数形结合思想，化归思想，函数与方程思想，抽样统计思想，归纳和演绎等，都属于基本数学思想。

       2、数学方法

       中学数学中常用的数学方法大致可以分为以下三类：
       

       （1） 逻辑学中的方法，如分析法、综合法、类比法、反证法等，是解决数学问题的得力工具，也称为数学方法。
       

       （2） 数学中的一般方法，如建模法、数形结合法、待定系数法、换元法、消元法、降次法、代入法、图像(坐标)法、比较法、数学归纳法等。

       （3） 数学中的特殊方法，如配方法、拆项补项法、公式法、因式分解法，以及图形平移、翻折、旋转、放缩等方法。

       3、数学思想与数学方法的关系

       数学思想和数学方法是不能截然分开的。“思想”指导“方法”，“方法”体现“思想”。两者相互依存，相得益彰。

       二 、数学思想方法的教学要求及作用

       2011版《课标》中是有这样的描述:“教师应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验.”数学思想方法在《课标》中作为课程总体要求的四大目标之一明确提出，其重要性可见一斑。

       （一） 学习数学思想方法的意义

       美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”。数学思想方法就是数学学科的一般原理的重要组成部分，它蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，对于学生的学习和今后的发展，具有十分重要的意义。

       1、有利于理解和记忆新的知识内容

       布鲁纳认为，“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。”数学思想方法作为数学学科的一般原理，不仅能够在人的大脑中长期存在，不像具体的数学知识那样易于忘记，而且能够帮助人们回忆、联想旧的知识。

      2、有利于实现学习的迁移

       数学思想方法是数学知识的概括性总结，因而领悟了数学思想方法，有利于实现学习的迁移，特别是“原理和态度的迁移”。教师在教学中注重数学思想方法的教学，通过分析、综合、类比、归纳，难易化转、举一反三的练习，就能使学生学会正确的思维方法，形成学习效果的广泛迁移。

       3、为后续学习夯实基础

       数学思想方法是联结初等数学与高等数学的一条红线。“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙”。中学阶段夯实这个基础，就等于给学生锻造了一副坚实有力的翅膀，将来能在广阔的科学天空中自由翱翔。

      4、影响人一生的发展

       教学中常常出现这样的现象:学生在课堂上好像学会了，但课后解题.特别是遇到新题型时便无所适从。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，丢掉了数学的“灵魂”。因此，教学中重要的是让学生真正领悟蕴涵于问题探索中的思想方法，真正授之以“渔”。

      （二） 怎样“开挖”数学思想方法

      1、 研读《课标》，把握要求
       

       根据初中的教学实际，《课标》对各种数学思想方法的掌握程度提出了不同要求，对于同一种思想方法，在不同的学段也有不同的要求。《课标》内容表述中，不仅使用了“了解”、“理解”、“掌握”、“运用”等描述结果目标的行为动词，而且使用了“经历”、“体验”、“探索”等描述过程目标的行为动词，从而更好地体现了《课标》对学生在知识技能、数学思考、解决问题以及情感态度等方面不同层次的要求.

      2、深刻理解，明晰内涵

       数学知识从总体上可分为两个层次：一为表层知识，一为深层知识。表层知识是《课标》中明确规定的、教材中明确给出的知识板块，包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能。深层知识主要指数学思想和数学方法，它蕴涵于表层知识之中，支撑和统帅着表层知识，是数学的精髓。只重视表层知识，不注重渗透数学思想方法的教学，是不完备的教学.

       3、总体设计，分段实施

       多种数学思想方法从小学开始就进人了初步感受阶段，在中学的学习中不断加深、拓宽。如函数模型是中学知识体系中的重要内容，它贯穿于初中教学的始终，但是对于函数概念的引入和函数的应用，教材中是分段安排的。在开始学习代数式、方程时，教材中就举出一些关于函数关系式的例子，通过求代数式的值、方程的解，让学生接触常数、变数以及量与量之间的关系，这时尽管学生还不知道函数的概念，但对量与量之间的关系已有了一个初步的感受；在正式学习函数概念时，对照函数的定义，回头去完善和巩固已有的知识，学生此时就能站在较高的认知水平上，为新知识提供固着点；后面对于正比例函数、反比例函数、二次函数的学习，就可以用统一的函数思想来处理问题了。

      4、把握火候，适时突破

       领悟数学思想方法虽然是一个渐进过程，但是，这种经验积累多了，便会产生“飞跃”，故教师要选准火候，适时突破。尤其是在章节结束或单元复习时，将统摄知识内容的数学思想方法适时地概括出来，结合实例呈现在学生面前，能使学生对解决问题的具体操作方式有更加明确的了解，有利于活化所学知识，增强运用意识，形成独立分析、解决问题的能力。

       （三）怎样“落实”数学思想方法

       数学思想方法是重要的学科内容，教学中当然应当遵循一般的教学原则。然而，数学思想方法又有其特殊的一面，故又不能与一般的知识性教学混为一谈，必须突出其个性化的教学原则。

       1、化隐为显原则

       教材中，数学知识是一条明线，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系。教材中的每一章节乃至每一道习题，都是数学基础知识和数学思想方法的有机结合。因为数学思想方法具有隐蔽性，需要通过教师有效地发掘和点拨，化隐为显，学生才能直接感受，较快地领悟和掌握。为此，教师要筛选典型题目予以剖析，使隐含在知识背后的思想方法通过外显的形式“暴露”出来。

       2、兴趣性原则

       常言道：“教未见趣，必不乐学。”要让学生领悟数学思想方法，教师首要的一环是创设有针对性的问题情境，激发学生学习、探究学生思想方法的兴趣。

       3、渗透性原则

       数学概念、法则、性质、公式、公理、定理都明显地写在教材中，是看得见、摸得着的“有形”知识，而数学思想方法却蕴涵在知识的展现过程之中，是“无形”知识。 “好雨知时节，当春乃发生，随风潜人夜，润物细无声。”多次有针对性的渗透，就会潜移默化，让学生在不知不觉中领会数学的本质。

       渗透应当注意： (1)初步感受。 (2)逐步深入。(3)突出重点。

       4、主体性原则

       数学知识可以用言传口授的方法传递给学生，而数学思想则显然不能。学生要“绝知”数学思想方法的真谛，必须亲身躬行。

       三、备考复习阶段，数学思想方法训练的几个策略

       一般来说，中考试题千变万化，其中部分题目还要“高于”教材中的题目要求。中考复习如何更具有针对性和时效性，走出题海误区，使学生在较短时间内适应中考题型，以不变应万变，不少有经验的教师的一大法宝，就是集中一段时间，对学生进行有效的数学思想方法训练。具体来说有以下一些策略。

       1、“悟”字贯穿始终

       对于数学思想方法，平时教学中要坚持一个“悟”字，同样，复习期间仍然要坚持一个“悟”字。“悟”的策略，贯穿教学过程的始终。中考试题一般不会出现关于数学思想方法的知识性题目，而是将其蕴涵在一般的试题之中。因而，在专题小结、模块复习中，教师要紧扣《课标》给出的知识模块和结构，从纵横两个方面渗透数学思想方法；要有选择性地指导学生去做一些中考真题，通过分析比较，给学生创造“悟”的机会，启发和激励他们将掌握的表层知识进一步深化，即对其中隐含的数学思想方法有所体验，有所感悟。

       2、系统展示思想方法

       毕业年级学生对基本的数学思想方法已经有了一个大致的了解和认识，积累了不少这方面的经验材料。但是还有相当一部分学生根本没有真正识破其“庐山真面目”，这些材料在他们的头脑中仍然是松散的，互不联系的，甚至是僵化的，更 谈不上自觉、灵活运用了。这是，如果教师还像平时教学那样慢慢“渗透”，可能就有点时不我待了。为了尽快弥补这一缺失，教师可安排一定时间做专题训练，对主要的数学思想方法做一个比较系统的“知识形态”的讲解，即把基本的数学思想方法从理论上展示出来，使学生对其有一个比较系统的了解，这样学生的认识就会在过去经验材料的基础上提升一个档次，至少可以明白“知识形态”的数学思想方法基本框架。然后再经过一段时间的联系，就能使“知识形态”的数学思想方法较快的、系统的上升到“认知形态”。

       3、“做一题，明一路”

       在学生形成“知识形态”的数学思想方法的基础上，或者进行专题复习的同时，教师若能有针对性地解剖一些典型例题，是使学生尽快进入“认知形态”的有效途径。然而遗憾的是，目前不少学校的复习课仍然是题海战术。尽管上级三令五申，但是仍然阻挡不了学校给学生订购多种复习资料、教师给学生布置大量作业习题，还有的家长根本不参与教学活动也煞费苦心地给孩子安培额外的练习，学生在茫茫题海中毫无目标地苦学苦练，可效果如何呢？学生收获的仅仅是几道题目和疲惫的身心。若抛开大量的资料，教师有针对性地从教材和中考真题中发掘、筛选出具有启发性、创造性和审美性的典型题目，指导学生解剖这些“麻雀”，多角度、多方位地寻求解题路径，尽量展示数学思想方法在解题中的作用，找出最优方法，培养学生的变通性、灵活性，就可以使具体的解题技能上升为一般的思维能力。这样通过解决一个问题，就发展成了解决“一群”问题，产生“做一题，明一路”的效果。

       4、大胆“探测”，形成网络结构

       近几年的中考试题，综合性相对有所增强。知识方面的综合运用必然带来数学思想方法的联合运用。特别是试卷的压轴题，往往不只使用单一的数学思想方法，而多是几种思想方法和多个知识点的有机结合。这类题目着重考察的是学生对知识的综合运用能力和创新能力。因此，要想突破此类题目，在复习时一定要鼓励学生大胆“探测”题目中所运用的数学思想方法，如分类思想、归纳思想、数形结合思想等。通过练习，纵向加深知识层次，向发展思维能力，在脑海中建立一个数学知识与思想方法有机结合的、多层次的网络结构，形成“全局性”的知识体系。只有这样，才能对“大题”有所突破，在“大题”面前大显身手。