无处不在的“弦图”

李莉娟

   弦图又称勾股弦图、青朱出入图。2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽就是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展。

    赵爽是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”(后称赵爽弦图）注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

把这段话列成算式，即为：弦的平方=勾的平方+股的平方,亦即：.证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为；中间的小正方形边长为，则面积为。于是便可得如下的式子：；

化简后便可得:；亦即：.

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

关注近几年的河南中考也是与弦图有着千丝万缕的联系。因此各个地市的模拟考试中也总能找到弦图的影子。例如今天进行的开封市第二次中招模拟考试中就有弦图的踪迹。

开封二模考试第22题：△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.

  （1）观察猜想
   如图1，当点D在线段BC上时，
   ①BC与CF的位置关系为：                .            
   ②BC，CD，CF之间的数量关系为：                （将结论直接写在横线上）
  （2）数学思考
   如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请你写出正确结论再给予证明．
  （3）拓展延伸
   如图3，当点D在线段BC的延长线上时延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=,CD=BC，请直接写出GE的长．

   前两小题对于大多数学生还是比较容易解决的，但是第（3）小题就要请出“弦图”来帮忙了：如下图，过点A作AM⊥BC于M，作AN⊥CF于N，过点E作EH⊥CF于H。

接下来利用弦图，证明△ANF≌△FHE，进而求出线段EH、HG的长，再利用勾股定理就很快能计算出线段EG的长了。

开封二模考试第23题：已知抛物线与轴从左至右交于A、B两点，与轴交于点C(0，5).

求该抛物线的函数解析式.

D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由.

若M为抛物线对称轴上一动点，△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.

学生在做第（3）小题时，根据找直角三角形的方法“一圆两垂线”很容易确定有四个符合条件的点M，但是想迅速写出这四个点M的坐标就显得有些困难了。不妨让我们画出图形来说明一下吧！

无论是图1中，还是图2中都有很多“弦图”的“亲戚”，利用弦图和勾股定理不难把每一个点M的坐标给计算出来的。

看来中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……”

现在中考数学中的这种“数形结合”的思想方法，不正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续吗？我们没有用理由拒绝它——“弦图”。