对在数学教学中应用数学思想方法的领悟
芦争气 教学随笔
多位研究数学思想和数学方法的数学教育专家（如张奠宙、过伯祥《数学方法论稿》、郑毓信《数学思想、数学思想方法与数学方法论》、张国栋、李建华《数学思想和数学教育》等）对数学思想和数学方法做了区分，但大多也认同，从数学教育的角度来看，过于区分数学思想和方法没有太大意义，在这个意义上，统称它们为数学思想方法。2009年，华东师范大学邵光华教授在他的老师顾泠沅教授的带领下，综述各种看法，求同存异，在《作为教育任务的数学思想与方法》一书里从数学教育的角度提出：数学思想作为一种理性认识，是关于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括。数学方法应被看成是在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采取的各种手段和途径。2016年10月，史宁中教授则从哲学的高度概括数学基本思想为：抽象、推理和模型，并将它们作为数学核心素养在高中阶段本质，原因是：抽象是数学的眼光，推理是数学的思维，模型是数学的语言。
我们作为一线一员，则主要是从数学思想方法对我们教学的重要意义来体会数学思想方法的重要作用的。下面结合几个细节谈一下数学思想方法的重要作用。
首先，从学习数学从最终的意义上来说，就是为了领悟数学思想方法。
从传统的人教版数学教材，到新课程以《课标》为本百花齐放的各版本的数学教材，从小学、初中到高中学段，数学知识都是循序渐进，从算术到代数，从点线到三角形四边形，从多边形到圆，从平面到空间，但数学思想方法贯穿全过程。数学思想方法最初以很简单的数学知识和数学材料的形式渗透给学生，随着学生年龄增长和学段的上升，数学知识和材料越来丰富，数学思想方法也越来越被用新的内容逐步展开，这些数学思想和方法也组成了数学全部内容的核心。我们也可以想见，多年以后，学了数学的学生走出校门，踏入社会，大多数的数学知识很快会模糊不清到忘掉，但是因为数学学习而培养起来的一些优秀的品质、习惯、思维方法和着眼点，如求真精神、探索习惯、合情推理能力、逻辑推理能力等却以工作和学习中新的内容和材料展示出来，深入骨髓。所以米山国藏在《数学的精神、思想和方法》中说，“纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中”。
举个例子，根据建构主义的学习理论，人在接触到新的事物的时候，总是用原有的认知和新事物照应和联系，完成建构过程。而数学思想方法中的转化思想，以数学的内容和形式在不断的增强人的这种建构能力。比如，从北师大版实验教材编排体系来看，小学四年级下期学习了“商不变定律”（即：被除数和除数同时乘以或除以一个数（0除外），商不变），到五年级上册，学习“分数的基本性质”（即“分数的分子和分母同时乘以或除以一个数（0除外），分数的大小不变”），二者实际上是形异质同，只要让学生根据分数形式和除法算式之间的关系，把分数的基本性质“翻译”一下就成为学过的“商不变定律”，学生自然会豁然明朗。这时，教师应抓住这个时机告诉学生，“其实，数学中许多知识都是同一件东西多种不同的形式而已。学数学的时候，要注意联系和对比，不断的把新的知识转化为和旧知识相似的形式来理解新知识，不断地把新问题转化为旧问题来解决新问题。”
上面的例子表明了转化思想以数学的内容和形式对提高人们领会新事物能力的巨大作用。从这个学习过程也可以看出，数学思想方法对培养人根本的思维品质所起到的重大作用。
其次，从数学教学的角度来说，把数学教学支点仅放在数学知识的教学、把教学支点放在培养学生思维能力和思维品质的教学、把教学支点放在数学的情感、精神的教学上的教学显然代表了数学教学的不同层次。数学课新在思维过程上，高在思想性上，好在学生参与度上。只有在培养学生数学思想方法的基础上，记忆知识、领会思想、陶冶情感，才能使数学课给学生留下长久的激荡和对知识的深刻理解，这样的数学教学才具有真正的实效和长效。这样的数学课堂才充满灵性，真与美交融碰撞，教师和学生沉浸其中，酣畅淋漓，所以很多行家描述一节好课的体验是“一次生命的际遇”。
第三，从数学学习角度来看，数学思想方法是对数学内容进一步的抽象和概括，位于数学知识的上位，数学思想方法的领悟必将对知识的迁移产生巨大的作用。可以说，没有领悟数学思想方法的数学学习，根本不懂得数学学习。
一节九年级的数学课上，学生们在解答同样的一道函数题目：已知某二次函数经过点（1,2），(3,10)，（4,17），求该二次函数解析式，多数学生可以顺利解答，但当问起怎么做时，学生们的回答很不相同，典型的有两类，一类回答：“凡已知三个点求解析式，都是把点的坐标代入解析式，列方程组求解就行了”，另一类回答：“求二次函数的解析式，实际上就是求三个未知数a、b、c，三个点是三个条件，每个条件可以化成一个含有这三个未知数的方程，三个方程就可以确定三个未知数的值。”显然，前一类学生是仍然习惯于用记忆的方式来学数学，随着学习内容的增加，这一类学生会逐渐感到吃力。后一类学生则是通过方程组思想来把握这道题目，随着题目情境的变化，这类学生显然不会感到解题困难，并随着对数学思想方法领悟的深刻程度的增加，学习数学会越感到轻松。
类似的现象在教学实践中很多。比如，我们会发现，不能很好的解答二次函数综合题目的学生，绝大多数是因为没有领会数形结合的思想方法在函数问题中的灵活运用方法，没有想到在解决函数问题时，用“数”的方式感到困难，就要考虑用“形”的方式打开思路，反之亦然；学函数就是要领会运动变化，就是要从数、形两方面来把握问题，对函数的三种表示法（表格、图像、表达式）之间的关系的理解和“互译”能力是学好函数解题的根本关键。再如，不能很好理解分段函数的学生，很可能不能很好的领会分类讨论的思想方法，追溯上去，他很可能在之前的绝对值的学习中，没有领会绝对值知识中蕴含的分类讨论思想。
提出了23个问题，深刻影响了整个二十世纪数学发展的数学家希尔伯特曾经幽默地说，“我因为脑袋笨，记忆力不好，总记不住东西，所以选择了研究数学”， “在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”这些都表明，数学学习不是通过记忆来学的。
反观义务教育的整个阶段，中考数学成绩落差较大是公认的事实。但是，为什么同样的教材，同样的九年数学学习，为什么中考时数学成绩落差较大？为什么相当一部分学生在小学阶段数学学习成绩较好，到初中却逐渐落下？这些现象产生的原因很复杂，但从数学学习方法的角度来说，“学数学要学数学思想方法，不要用记忆的方式来学数学”是其中一个重要因素。
最后，从其他很多角度看来，如数学思想方法同哲学思想之间的联系，数学思想方法是数学内容的产生和发展的核心等等角度，我们也认识到数学思想方法的重要性。
总之数学思想方法无论对于数学本身的产生和发展，对其他相关学科的支撑，还是对于数学教育来说，都有着灵魂性地位和作用。