开封市2017年中招第一次一模考试数学试题精选

在4月25-26日，开封市进行了2017年中招第一次一模考试，其中数学试卷上有两道题值得深思。

一道是第15题：在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，DE的长为              .

因为之前给学生讲过辅助圆的妙用，因此，很多优秀的孩子都知道点F应落在在以点A为圆心，AD长为半径的圆上，轻松的画出如下的图形：

   接着他们能根据分类讨论的思想，得出以下几种情况：

①当∠EFC=90°时，如下图，通过计算可得DE=.

②当∠ECF=90°时，如下图，极易算得DE=8.

    ③当∠ECF=90°时，如下图，通过计算可得DE=.

因为已经顺利找到了三种情况下的三个不同的DE的长，很多学生都认为自己这道题肯定能拿到满分了，其实不然，孩子们还是漏了一个点F的可能的位置，如下图，通过计算可得DE=.

通过这道试题我们带领学生进行了如下的反思：第一，同学们漏掉这一个点F，大多是因为“惯性使然”。平时我们所做的第15题的正确答案，一般都只有2-3个数值，所以找到三个正确数值后很多学生就不再去想还有没有别的可能。第二，虽然知道点F应落在在以点A为圆心，AD长为半径的圆上，但是画图时并没有把圆画完整或者是只看见了图中的“线段BC”而没有意会出题意“直线BC”。第三，对于优秀的学生而言，计算能力一定要“强”，不能只停留在“计算过关”的水平上。

另一道题是第22题：如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）.

问题发现：

如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系                       ；请证明你的猜想。

（2）类比探究：

如图2，若AB：AD=1：2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：FH的比值。

拓展延伸：

   如图3，若AB：AD=1：4，请直接写出（AE+4AF）：AC的比值为       .

（1）（2）两问优秀的学生是没有问题的，但是（3）拓展延伸可是把他们难为坏了。若是从一般的角度考虑我们应该这样来做：类比图（2），过点C作CH⊥AD于点H，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M。

接下来就是一系列的证明与计算了。这样不但过程繁琐，讲解时也有许多学生不大明白。既然这是一道只写结论的题目，我们为什么不找一种简便易算的方法呢？于是就有了下面的设想：当点E的位置特殊时即点E与点B重合时，是否能使我们的计算变得简单呢？试着画出了下面的图形，还真的很快算出了正确的答案。

设DH=a，则AB（ E）=DC=2a，BC=AD=8a，所以AH=7a

因为CH⊥AD，∠B=60°，所以CH=

在Rt△ACH中，AC===

易证△BMC和△AMF均为等边三角形，所以AM=AF=6a

所以（AE+4AF）：AC=（2a+4×6a）：=

于是又有了新的想法：在解决几何难题时，当遇到需要我们直接写出结论的题目，不妨也用一用特殊位置法（类似于代数中的特殊值法）来帮助我们解决问题。