由数形结合谈辅助圆在中考22题中的作用

洛阳市孟津县县直中学       袁妙月

河南省2016年数学中考试题

22.（10分）（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b。

填空：当点A位于   CB延长线上     时，线段AC的长取得最大值，且最大值为   a+b    （用含a，b的式子表示）

由于A点是动点，A点与B点距离为a不变，我们可以认为A点在以B点为圆心，半径为a的圆上运动，这样就可以画出一个辅助圆，圆心为B，数形结合，观察图形可知点C与园B上那个点距离最远，即CB延长线与园B的交点就是A点的位置。

（2）实际应用

点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由

②直接写出线段BE长的最大值.

证明DC=BE是八年级平常做过的一个证明题，考查等边三角形和三角形全等的知识，而本问的真实意图我认为是两次考查初中比较重要的数学思想就是转化的数学思想，第一次把BE的长转化为CD的长为本问的第二小问服务，第二次转化是利用等边三角形BA和BD的长相等，要想求出CD的最大值，就变为和第一问的理念一模一样了，画出以B点为圆心，BD为半径的辅助圆，CB延长线与园B的交点就是D点的位置。进而很容易就可求出CD的长，BE的长就迎刃而解。

（3）拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=900.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。

结合题意MP和PB垂直，利用八年级所学习的旋转知识，把三角形PMA绕点P旋转90度，得到三角形PBA撇，AM和A撇B相等，另外PA和PA撇垂直且相等，根据勾股定理计算出AA撇的长，由题意线段AB=3 ，我们只要计算出BA撇的最大值即可。

我们看下图，发现题目创设的情景虽然复杂，但通过逐步我们剖析，发现求最值和第一问理念一样，当A撇点在如下图位置A双撇点时，BA撇最大，此时旋转角为45度+角A撇AA双撇，点P旋转到了如图P撇位置，且角P撇AA双撇为45度，最后解直角三角形P撇AG即可，问题解决。

2016年河南省数学中考试题22题，最后一问我觉得还用到了分类讨论的思想，上面解得是P点在线段AB的下方，还有一种情况就是P点在线段AB的上方。方法一模一样。因此最后P点坐标应该是两个答案。而答案解析只给了一种。